jueves, 7 de abril de 2011

Sistemas de Numeraciòn

Introducción. El Concepto de Base

Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guigarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico.
En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase . Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente.
La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 según todas las apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable como son las numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases y la numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad.
Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo.
Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de simbolos que los hace poco prácticos.
Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación, requiriendo procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De hecho cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de numeración actual, los abaquistas, los profesionales del cálculo se opusieron con las más peregrinas razones, entre ellas la de que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser un metodo diabólico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla.
El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes;. Del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los indroductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que sólo diez simbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.


Sistemas de Numeracion Aditivos
Para ver cómo es la forma de representación aditiva consideremos el sistema geroglífico egipcio. Por cada unidad se escribe un trazo vertical, por cada decena un símbolo en forma de arco y por cada centena, millar, decena y centena de millar y millón un geroglífico específico. Así para escribir 754 usaban 7 geroglíficos de centenas 5 de decenas y 4 trazos. De alguna forma todas las unidades están fisicamente presentes.



Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los simbolos de todas las unidades, decenas... como sean necesarios hasta completar el número. Una de sus características es por tanto que se pueden poner los símbolos en cualquier orden, aunque en general se ha preferido una determinada disposición.
Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romana y las alfabéticas de los griegos, armenios, judios y árabes.


El Sistema de Numeración Egipcio
Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema deescribir los números en base diez utilizando los geroglíficos de la figura para representar los distintos ordenes de unidades.



Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podian escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso
Al ser indiferente el orden se escribían a veces según criterios estéticos, y solían ir acompañados de los geroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo número indicaban. En la figura aparece el 276 tal y como figura en una estela en Karnak.
Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura hierática y demótica, formas más simples que permitian mayor rapidez y comodidad a los escribas
En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia, y asi se introdujeron símbolos particulares para 20, 30....90....200, 300.....900, 2000, 3000...... con lo que disminuye el número de signos necesarios para escribir una cifra.



strong>SISTEMA DE NUMERACION ROMANOLos números Romanos son una sucesión de letras Mayúsculas I, V ,X, L ,C, D, M (denotando 1,5,10,50,500,1000 respectivamente). Estos números pueden ser automáticamente convertidos a nuestro sistema habitual asignando un valor numérico a cada letra, de acuerdo con la tabla del dibujo y calculando el total.

En todo caso hay que tener en cuenta el principio de substracción, el cual requiere que un número más pequeño que aparezca antes que uno mayor debe ser substraído del valor más alto no sumado al total. Por ejemplo, IX es el número romano correspondiente a 9 (esto es 10 – 1). Otra convención es que un signo no puede ser usado más de 3 veces seguidas.




SISTEMA DE NUMERACION GRIEGO

El primer sistema de Numeración griego se desarrolló hacia el año 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fueran necesario según el principio de las numeraciones aditivas.




Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico.
Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos según la tabla siguiente




De esta forma los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y a su vez las palabras tienen un valor numérico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras que las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina mágica que estudiaba la relación entre los números y las palabras. En algunas sociedades como la judía y la árabe, que utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relación ha tenido una gran importancia y ha constituido una disciplina aparte: la kábala, que persigue fines místicos y adivinatorios.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN HIBRIDOS

Son:
Sistema de Numeración Chino
Sistema de Numeración Asirio
Sistema de Numeración Arameo
Sistema de Numeración Etiope
Sistema de Numeración Indio

Sistema de Numeración Chino

La forma clásica de escritura de los chinos empezó desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es un sistema decimal que usa unidades de distintas potencias de 10




Utiliza signos y combinaciones de los números hasta el 10 con la decena, centena, millar y decena de millar para representar por ejemplo 50, 500 ó 2000 según el principio multiplicativo. En este caso es fundamental el orden y la escritura se hace de arriba hacia abajo aunque también se hace de izquierda a derecha:



Aquí no es necesario simbolizar al cero. Para documentos más importantes se usaba una grafía más complicada con el objetivo de evitar falsificaciones y errores.
La ausencia del cero en el sistema de numeración China impidió un desarrollo completo de su sistema. Los chinos incorporan luego el cero por influencia Hindú en el S.VIII que no lo diferencia de este.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN POSICIONALES
Son:
Sistema de Numeración Hindú
Sistema de Numeración Babilonio

SISTEMA DE NUMERACION MAYA

Estos sistemas tienen una característica: La posición de una cifra nos indica si es la unidad, la decena, la centena o en general la potencia de la base correspondiente. Solo 3 culturas lograron desarrollar este tipo de sistema. Los sistemas babilónico y maya no eran prácticos cuando tenían que hacerse operaciones pues no tenían signos particulares para los dígitos usando para representarlos una acumulación del signo de la unidad y la decena.
En el sistema ne numeración Maya se cometía una irregularidad a partir de las Unidades del Tercer Orden ya que detrás de las veintenas no usaban 20 x 20 = 400 sino 20 x 18 = 360 para adecuar los números al calendario una de sus mayores preocupaciones culturales.
Fueron los Hindúes los que idearon el sistema de Numeración Decimal que hoy conocemos y aunque a veces decimos que es Arábigo y por ende de origen Árabe, no lo es. Fueron los árabes quienes transmitieron esta forma de representar los números y sobre todo el cálculo, sin embargo demoraron siglos en ser usadas y aceptadas






Sistema de Numeración Hindú
La notación numérica usada universalmente en la actualidad procede de sistemas de numeración hindúes ya existentes hacia el siglo VI d. C. Estos sistemas ofrecían respecto de los utilizados en Europa dos ventajas sustanciales:
• El concepto del número 0, que, aunque probablemente fue importado de las culturas mesopotámicas, se integró por primera vez en un sistema decimal junto con las otras nueve cifras del sistema. (La noción del cero había sido también desarrollada en América por la cultura maya.)
• La asignación de un valor posicional a cada cifra, de manera que un mismo guarismo tenía un valor diferente según su posición global en la expresión de la cantidad numérica.
Este sistema fue adoptado por los árabes antes del siglo IX, y popularizado por los escritos de Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (h. 780-h. 850), autor del primer manual de aritmética inspirado en el sistema decimal posicional.
En el siglo XIII, las traducciones al latín de las obras de los matemáticos árabes hicieron posible que los sabios escolásticos medievales conocieran los principios del sistema numeral posicional. No obstante, fue el italiano Leonardo de Pisa quien, en su obra Liber abaci (1202), ofreció una exposición de las cifras hindúes en la que se sitúa el origen del sistema moderno de numeración.



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