MAS SOBRE EL NUMERO DE ORO Y LA DIVINA PROPORCION. CONSTRUCCION DE EUCLIDES.

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN MEDIA Y EXTREMA RAZÓN. DIVISIÓN ÁUREA DE UN SEGMENTO.
Dado un segmento AB, dividirle en dos partes AE y EB de forma que AB/AE = AE/EB.. El valor del cociente AB/AE se le denomina número de oro, normalmente representado por F






Dado un segmento AB, se dice que está dividido en media y extrema razón, cuando: "[...] si hay de la parte pequeña a la parte grande la misma relación que de la grande al todo" (Vitrubio)
Esta división de un segmento ya aparece en los Elementos de Euclides, en concreto l en el Libro VI, aunque con una construcción diferente.
Es fácil construir un rectángulo áureo a partir de un segmento de recta inicial.
Se traza un segmento inicial y luego otro perpendicular y de la misma medida a su extremo. Se traza un segmento desde el punto medio del segmento inicial al extremo del otro segmento. Se coloca un compás cuyo extremo anclado esta en el punto medio y el otro en el extremo superior del segmento perpendicular a este, se hace un trazo que será una curva (punto C en la Figura). El rectángulo áureo tendrá de largo el segmento AC en la figura a continuación.






El rectángulo áureo tiene una propiedad muy interesante. A partir de él podemos obtener una infinidad de nuevos rectángulos áureos. El proceso es iterativo (recursivo diría alguien dedicado a la computación) y consiste en quitar a cada rectángulo áureo un cuadrado, la superficie que queda luego de hacer esto es un nuevo rectángulo áureo.



Una forma de reconocer si un rectángulo es áureo es la siguiente




El rectángulo de oro, permite trazar una bella espiral, denominada espiral de oro.



En realidad es una falsa espiral, ya que está constituida por arcos de circunferencia y por tanto no hay una variación continua del radio.
El número de oro se encuentra en algunos polígonos regulares






CONSTRUCCIÓN DEL PENTÁGONO REGULAR Y DE EL DECÁGONO REGULAR A PARTIR DE LA DIVISIÓN ÁUREA DE UN SEGMENTO.
Euclides, siglo III a.c. definió la división de un segmento en media y extrema razón para construir mas fácilmente estos polígonos regulares.







El pentágono estrellado, símbolo de los pitagóricos, es la figura geométrica en que el número de oro tiene mayor presencia.


También encontramos este apasionante número en uno de los poliedros platónicos, el icosaedro. El icosaedro puede formarse uniendo los vértices de tres rectángulos áureos perpendiculares.
Mucho se ha escrito sobre la presencia del número de oro en el arte, en la naturaleza, en las proporciones del cuerpo humano, así como en tarjetas de crédito, te invito trazar el rectángulo áureo y averiguar de que manera se valieron de el para la creación estética.

Otros Sistemas de Numeracion

SISTEMA DE NUMERACION ROMANOLos números Romanos son una sucesión de letras Mayúsculas I, V ,X, L ,C, D, M (denotando 1,5,10,50,500,1000 respectivamente). Estos números pueden ser automáticamente convertidos a nuestro sistema habitual asignando un valor numérico a cada letra, de acuerdo con la tabla del dibujo y calculando el total.

En todo caso hay que tener en cuenta el principio de substracción, el cual requiere que un número más pequeño que aparezca antes que uno mayor debe ser substraído del valor más alto no sumado al total. Por ejemplo, IX es el número romano correspondiente a 9 (esto es 10 – 1). Otra convención es que un signo no puede ser usado más de 3 veces seguidas.




SISTEMA DE NUMERACION GRIEGO

El primer sistema de Numeración griego se desarrolló hacia el año 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fueran necesario según el principio de las numeraciones aditivas.




Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico.
Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos según la tabla siguiente




De esta forma los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y a su vez las palabras tienen un valor numérico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras que las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina mágica que estudiaba la relación entre los números y las palabras. En algunas sociedades como la judía y la árabe, que utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relación ha tenido una gran importancia y ha constituido una disciplina aparte: la kábala, que persigue fines místicos y adivinatorios.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN HIBRIDOS

Son:
Sistema de Numeración Chino
Sistema de Numeración Asirio
Sistema de Numeración Arameo
Sistema de Numeración Etiope
Sistema de Numeración Indio

Sistema de Numeración Chino

La forma clásica de escritura de los chinos empezó desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es un sistema decimal que usa unidades de distintas potencias de 10




Utiliza signos y combinaciones de los números hasta el 10 con la decena, centena, millar y decena de millar para representar por ejemplo 50, 500 ó 2000 según el principio multiplicativo. En este caso es fundamental el orden y la escritura se hace de arriba hacia abajo aunque también se hace de izquierda a derecha:



Aquí no es necesario simbolizar al cero. Para documentos más importantes se usaba una grafía más complicada con el objetivo de evitar falsificaciones y errores.
La ausencia del cero en el sistema de numeración China impidió un desarrollo completo de su sistema. Los chinos incorporan luego el cero por influencia Hindú en el S.VIII que no lo diferencia de este.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN POSICIONALES
Son:
Sistema de Numeración Hindú
Sistema de Numeración Babilonio

SISTEMA DE NUMERACION MAYA

Estos sistemas tienen una característica: La posición de una cifra nos indica si es la unidad, la decena, la centena o en general la potencia de la base correspondiente. Solo 3 culturas lograron desarrollar este tipo de sistema. Los sistemas babilónico y maya no eran prácticos cuando tenían que hacerse operaciones pues no tenían signos particulares para los dígitos usando para representarlos una acumulación del signo de la unidad y la decena.
En el sistema ne numeración Maya se cometía una irregularidad a partir de las Unidades del Tercer Orden ya que detrás de las veintenas no usaban 20 x 20 = 400 sino 20 x 18 = 360 para adecuar los números al calendario una de sus mayores preocupaciones culturales.
Fueron los Hindúes los que idearon el sistema de Numeración Decimal que hoy conocemos y aunque a veces decimos que es Arábigo y por ende de origen Árabe, no lo es. Fueron los árabes quienes transmitieron esta forma de representar los números y sobre todo el cálculo, sin embargo demoraron siglos en ser usadas y aceptadas






Sistema de Numeración Hindú
La notación numérica usada universalmente en la actualidad procede de sistemas de numeración hindúes ya existentes hacia el siglo VI d. C. Estos sistemas ofrecían respecto de los utilizados en Europa dos ventajas sustanciales:
• El concepto del número 0, que, aunque probablemente fue importado de las culturas mesopotámicas, se integró por primera vez en un sistema decimal junto con las otras nueve cifras del sistema. (La noción del cero había sido también desarrollada en América por la cultura maya.)
• La asignación de un valor posicional a cada cifra, de manera que un mismo guarismo tenía un valor diferente según su posición global en la expresión de la cantidad numérica.
Este sistema fue adoptado por los árabes antes del siglo IX, y popularizado por los escritos de Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (h. 780-h. 850), autor del primer manual de aritmética inspirado en el sistema decimal posicional.
En el siglo XIII, las traducciones al latín de las obras de los matemáticos árabes hicieron posible que los sabios escolásticos medievales conocieran los principios del sistema numeral posicional. No obstante, fue el italiano Leonardo de Pisa quien, en su obra Liber abaci (1202), ofreció una exposición de las cifras hindúes en la que se sitúa el origen del sistema moderno de numeración.