Para representar los números, los Pitagòricos usaban piedritas, a partir de allí esta práctica se convirtió en uno de los métodos más primitivos de expresión simbólica. Posteriormente se sustituyo este objeto físico por una representación que era una marca o un punto, dando lugar a representaciones puntuales de los números.
Una configuración puntual, es una representación grafica de un conjunto finito de puntos, dispuestos con una intencionalidad, como es el caso de las Constelaciones
Un número figurado es una configuración puntual que representa un cardinal mediante una figura reconocible, usándose preferentemente figuras geométricas.
Un patrón puntual es una estructura de representación mediante configuraciones.
Un número poligonal es un patrón que representa números de acuerdo con un modelo geométrico cuya forma es un polígono y que se genera por ampliación.
Los matemáticos en Grecia antigua utilizaron con frecuencia las representaciones poligonales de los números o número figurado, como los, cuadrados, pentagonales hexagonales, etc. que se obtienen cuando los puntos se disponen formando de una amanera regular triángulos, cuadrados, pentágonos o hexágonos respectivamente.
MOSAICOS
Estos dibujos que ustedes observan a continuación corresponden a Mosaicos.
Sin embargo nosotros trabajaremos con mosaicos especiales formados por cuadrados de cartulina tal como se hizo en clase y formaremos con ellos cuadrados.
Ahora de los mosaicos formados, escogemos solo los que tengan forma cuadrada:
Que tienen de especial los mosaicos de forma cuadrada?
Como son sus lados?
Si ordenáramos estos atendiendo al número de cuadritos que hay por cada lado tendríamos lo siguiente:
Atendiendo al número de cuadritos de las filas y de las columnas de cada mosaico llenamos la siguiente tabla:
Como veras el número total de cuadritos de cada mosaico lo obtenemos multiplicando el número de cuadritos de cada fila por el de cada columna…….en este caso es el mismo
Estas multiplicaciones se pueden ordenar en una tabla como la siguiente:
Y como 1 x 1 es 1 también es un número cuadrado.
Veamos ahora como podemos formar cubos:
Con cuántos dados esta construidos cada uno de los cubos de los dibujos?
Un cubo que tiene en el primer piso 5 cubitos por cada lado ¿Cuántos pisos tendrá? ¿Cuántos cubitos en total?
Ahora con la base en las construcciones que se hicieron de los cuadrados en una tabla, completa la siguiente:
En un piso de 5 x 5 = 25
En los 5 pisos 5 x 5 x 5 = 125
¿Cuántos cubos faltan en la última figura?
Si tuvieras que ordenar los cubos ¿Cuál seria el primero, el segundo….?
Segunda y Tercera Potencia de un Número
El cuadrado de 5 es la segunda potencia de 5:
25 = 5 x 5 = 55 Donde la base es 5 y el exponente es 2
Esta es una nueva forma de escribir 5 x 5. Al número que se repite como factor lo llamamos BASE. Al número pequeño a la derecha y arriba y que indica las veces que aparece el factor lo llamamos EXPONENTE.
¿Cómo leer la segunda potencia de un número?
La tercera potencia de 2 se lee:
2 elevado al cubo
2 al cubo
2 a la tercera potencia
La Segunda y Tercera Potencia de 1
1 x 1 = 1 12 = 1 Es la segunda potencia de 1
1 x 1 x 1 13= 1 Es la tercera potencia de 1
Ahora ya sabemos porque a la segunda potencia se le dice CUADRADO y a la tercera potencia CUBO , porque son números que están representados por esas figuras.
OTROS NUMEROS FIGURADOS
Ustedes ya se iniciaron como alumnos de Pitágoras cuando estudiaron los números pares e impares.
1, 3, 5, 7, 9, 11
Con los impares no es posible obtener parejas completas de puntos, sobra uno o falta uno.
De cada número, no se pueden obtener dos grupos con igual número de puntos.
Con los pares se obtienen parejas completas de puntos y es posible dividir cada número en dos grupos con igual número de puntos.. Los Pitagòricos formaron arreglos cuadrados como ya hemos visto, a esos arreglos se les llama NUMEROS CUADRADOS.
El número 1 es un cuadrado perfecto.
También observaron que a partir de una ficha los arreglos cuadrados se pueden obtener agregando cada vez, y en forma consecutiva, un número impar de fichas.
Al 1 le agregaron 3: 1 + 3 = 4
Al 4 le agregaron 5: 1 + 3 + 5 = 9
Ya sabemos que el 1 es el primer cuadrado: 1 x 1 = 1
Aquí encontramos ahora que los números cuadrados se pueden obtener sumando consecutivamente números impares a partir de 1.
El segundo número cuadrado que es 4 se obtiene sumando los dos primeros números impares; al tercer cuadrado, que es 9, se obtiene sumando los tres primeros……
¿Cuál será la suma de los primeros 7 números impares?
¡Es 49 y 49 es el séptimo número cuadrado!
Los Pitagòricos también encontraron relaciones interesantes entre ciertos arreglos triangulares y los números:
Triángulos Rectángulos
Pero también pueden ser representados por triángulos equiláteros
A los números 1, 3, 6, 10, 15, 21… los llamaron Números Triangulares.
Observando cada arreglo triangular desde uno cualquiera de sus vértices se puede encontrar la forma de expresarlos mediante sumas especiales.
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 =6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
Son sumas de números consecutivos a partir de 1.
RELACIÒN ENTRE LOS NÙMEROS TRIANGULARES Y LOS NÙMEROS CUADRADOS.
¿Cómo son los dos números triangulares presentes en el número cuadrado?
Los invito a discutir la siguiente conclusión:
La suma de dos números triangulares consecutivos en un número Cuadrado.
Estos dos ejercicios se los propuso Pitágoras a sus alumnos.
1. Escojan cualquier número triangular, multiplíquenlo por 8 y al producto súmele uno, ¿Qué clase de número es el resultado?.
2. Verifiquen que el doble de cualquier número triangular se puede descomponer como el producto de dos números consecutivos.
¿Les gustaría hacerlo? ¡Adelante!.
Lic. Rosa Natividad Cuba Samamè
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